2 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Ряд распределения. Многоугольник распределения Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

3 Рассмотрим прерывную случайную величину X с возможными значениями x 1, х 2, …, х n. Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина X может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина X примет одно из этих значений, т. е. произойдет одно из полной группы несовместных событий. Обозначим вероятности этих событий буквами р с соответствующими индексами: Р(Х=х 1)=р 1 ; Р(Х=х 2) = р 2 ;...; Р(Х = х n) = р n. Так как несовместные события образуют полную группу, то сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице

4 Ряд распределения случайной величины X имеет следующий вид xixi x1x1 x2x2 …xnxn pipi p1p1 p2p2 …pnpn графическому изображению Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откла­дываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат вероятности этих значений. Такая фигура называется многоугольником распределения.

7 Функция распределения F(x) иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F " title="8 Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения. 1.Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. при х 2 > х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F " class="link_thumb"> 8 8 Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения. 1.Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. при х 2 > х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F (-) = 0. 3.На плюс бесконечности функция распределения равна единице: F (+) = 1. х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F "> х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F (-) = 0. 3.На плюс бесконечности функция распределения равна единице: F (+) = 1."> х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F " title="8 Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения. 1.Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. при х 2 > х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F "> title="8 Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения. 1.Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. при х 2 > х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F ">

10 Не давая строгого доказательства этих свойств, проиллюстрируем их с помощью наглядной геометрической интерпретации. Для этого будем рассматривать случайную величину X как случайную точку X на оси Ох, которая в результате опыта может занять то или иное положение. Тогда функция распределения F(x) есть вероятность того, что случайная точка X в результате опыта попадет левее точки х.

11 Плотность распределения Функция f(x) – произвольная функция распределения характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятностей») непрерывной случайной величины. характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятностей») непрерывной случайной величины. Иногда функцию f(x) называют также «дифференциальной функцией распределения» или «дифференциальным законом распределения» величины Х.

14 Рассмотрим непрерывную случайную величину X с плотностью распределения f(х) и элементарный участок dх, примыкающий к точке х. Вероятность попадания случайной величины X на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна f(х)dх. Величина f(х)dх называется элементом вероятности. Геометрически это есть пло­ щадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dх.

15

16 Выразим вероятность попадания величины X на отрезок от α до β через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т. е. интегралу: Геометрически вероятность попадания величины X на участок (α, β) равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок.

17 Основные свойства плотности распределения. Плотность распределения есть неотрицательная функция: Плотность распределения есть неотрицательная функция: Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения F(x) есть неубывающая функция. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

19 Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений., где, где Х – прерывная случайная величина, М[X] – среднее значение случайной величины, – возможные значения величины Х, – возможные значения величины Х, – вероятности значений. – вероятности значений.

21 Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс. Совершенно теми же приемами пользуются в теории вероятностей для описания основных свойств распределения случайной величины. Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные.

24 Центральным моментом порядка s случайной величины Х называется математическое ожидание s-ой степени соответствующей центрированной случайной величине: Для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю: т. к. математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю.

25 Из всех моментов в качестве характеристик случайной величины чаще всего применяются первый начальный момент (математическое ожидание) и второй центральный момент. Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины (D[X]). Согласно определению центрального момента: т.е. дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины.

29 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

30 Кривая распределения, по нормальному закону имеет симметричный колоколообразный вид. Максимальная ордината кривой, равная соответствует точ­ке х = т; по мере удаления от точки m плотность распределения падает, и при x ± кривая асимптотически приближается к оси абсцисс.

33 РЕЛЕЕВСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Распределение модуля вектора на плоскости, координаты которого являются независимыми случайными величинами, что имеют нормальный закон распределения с нулевым средним и единичной дисперсией, описываются распределение Релея. Распределение Релея реализуют когда погрешности измерения по координатам x и y независимы и нормально распределены с одинаковыми дисперсиями.

Дискретные случайные величины Рассмотрим случайную величину * , возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел x1, x2, ..., xn, ... . Пусть задана функция p(x), значение которой в каждой точке x=xi (i=1,2, ...) равно вероятности того, что величина примет значение xi

Такая случайная величина называется дискретной (прерывной). Функция р(х) называется законом распределения вероятностей случайной величины, или кратко, законом распределения. Эта функция определена в точках последовательности x1, x2, ..., xn, ... . Так как в каждом из испытаний случайная величина принимает всегда какое-либо значение из области ее изменения, то Такая случайная величина называется дискретной (прерывной). Функция р(х) называется законом распределения вероятностей случайной величины, или кратко, законом распределения. Эта функция определена в точках последовательности x1, x2, ..., xn, ... . Так как в каждом из испытаний случайная величина принимает всегда какое-либо значение из области ее изменения, то

Пример 1. Случайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Возможные значения - числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. При этом вероятность того, что примет любое из этих значений, одна и та же и равна 1/6. Какой будет закон распределения? (Решение) Пример 1. Случайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Возможные значения - числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. При этом вероятность того, что примет любое из этих значений, одна и та же и равна 1/6. Какой будет закон распределения? (Решение) Пример 2. Пусть случайная величина - число наступления события A при одном испытании, причем P(A)=p. Множество возможных значений состоит из 2-х чисел 0 и 1: =0, если событие A не произошло, и =1, если событие A произошло. Таким образом,

Закон распределения вероятностей по формуле Бернулли часто называют биномиальным, так как Pn(m) представляет собой m-й член разложения бинома. Закон распределения вероятностей по формуле Бернулли часто называют биномиальным, так как Pn(m) представляет собой m-й член разложения бинома. Пусть случайная величина может принимать любое целое неотрицательное значение, причем

Пример 3. На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных? (Решение) Пример 3. На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных? (Решение) Распределение Пуассона часто встречается и в других задачах. Так, например, если телефонистка в среднем за один час получает N вызовов, то, как можно показать, вероятность Р(k) того, что в течение одной минуты она получит k вызовов, выражается формулой Пуассона, если положить

Если возможные значения случайной величины образуют конечную последовательность x1, x2, ..., xn, то закон распределения вероятностей случайной величины задают в виде следующей таблицы, в которой Если возможные значения случайной величины образуют конечную последовательность x1, x2, ..., xn, то закон распределения вероятностей случайной величины задают в виде следующей таблицы, в которой

По горизонтальной оси будем откладывать возможные значения случайной величины По горизонтальной оси будем откладывать возможные значения случайной величины, а по вертикальной оси - значения функции. График функции р(х) изображен на рис. 2. Если соединить точки этого графика прямолинейными отрезками, то получится фигура, которая называется многоугольником распределения.

Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3. Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3.

Работа может использоваться для проведения уроков и докладов по предмету "Математика"

Готовые презентации по математике используют в качестве наглядных пособий, которые позволяют учителю или родителю продемонстрировать изучаемую тему из учебника с помощью слайдов и таблиц, показать примеры по решению задач и уравнений, а также проверить знания. В данном разделе сайта можно найти и скачать множество готовых презентаций по математике для учащихся 1,2,3,4,5,6 класса, а также презентации по высшей математике для студентов ВУЗов.

Дискретные случайные величины Случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые заранее можно перечислить Примеры: - число выпадений орла при трех бросках монеты; - число попаданий в мишень при 10 выстрелах; - число вызовов, поступивших на станцию скорой помощи за сутки.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения случайной величины может задаваться в виде: таблицы графика формулы (аналитически).

Расчет вероятности реализации определенных значений случайного числа Число выпадений орла равно 0 – события: РР – вероятность 0,5 *0,5 =0, 25 Число выпадений орла равно 1 – события: Р0 или ОР – вероятность 0,5 *0,5 + 0,5*0,5 = 0,5 Число выпадений орла равно 2 – события: 00 – вероятность 0,5 *0,5 = 0,25 Сумма вероятностей: 0,25 + 0,50 + 0,25 = 1

Вычисление значений ряда распределений случайного числа Задача. Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4.За каждое попадание стрелку начисляется 5 очков. Построить ряд распределения числа выбитых очков. Вероятность событий: биномиальное распределение Обозначение события: попал – 1, не попал - 0 Полная группа событий: 000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111 k = 0, 1, 2, 3

Ряд распределения случайного числа выбитых очков события число очков вероятность события0,2160,4320,2880,064

Операции сложения и умножения случайных величин Суммой двух случайных величин X и Y называется случайная величина, которая получается в результате сложения всех значений случайной величины X и всех значений случайной величины Y, соответствующие вероятности перемножаются X01 p0,20,70,1 Y123 p0,30,50,2

Операции сложения случайных величин Z = = =2 0+1 =1 0+2 =2 0+3 =3 1+1 =2 1+2 =3 1+3 =4 p 0,060,10,040,210,350,140,030,050,02 Z01234 p0,060,310,420,190,02

Операции умножения случайных величин Произведением двух случайных величин X и Y называется случайная величина, которая получается в результате перемножения всех значений случайной величины X и всех значений случайной величины Y, соответствующие вероятности перемножаются X01 p0,20,70,1 Y123 p0,30,50,2

Свойства функции распределения F(X) 0 F(x) 1 F(X)- неубывающая функция Вероятность попадания случайной величины X в интервал (a,b) равна разности значений функции распределения в правом и левом концах интервала: P(a X

Основные характеристики дискретных случайных величин Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины равно сумме произведений значений, принимаемых этой величиной, на соответствующие им вероятности: М(x)=x 1 Р 1 + x 2 Р x n P n =

Xixi PiPi x i P i (x i – M) 2 (x i – M) 2 P i 2 0,1 0,2 (2-3,6) 2 = 2,560,256 30,30,9 (3-3,6) 2 = 0,360,108 40,52 (4-3,6) 2 = 0,160,08 50,10,50,5 (5-3,6) 2 = 1,960,196 ПРИМЕР: Рассчитать основные числовые характеристики для числа заказов препарата, поступивших за 1 час M(x)=3,6 D(x)=0,64
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, Учебно–методические пособия: Шапиро Л.А., Шилина Н.Г. Руководство к практическим занятиям по медицинской и биологической статистике Красноярск: ООО «Поликом». – 2003.

Методическая разработка представляет собой презентацию в электронном виде.

Данная методическая разработка содержит 26 слайдов с кратким содержанием теоретического материала к разделу Случайные величины. Теоретический материал включает в себя понятие случайной величины и логически верно разделен на две части: дискретная случайная величина и непрерывная случайная величина. Тема ДСВ включает понятие ДСВ и способы задания, числовые характеристики ДСВ(математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, начальные и центральные моменты, мода, медиана). Приведены основные свойства числовых характеристик ДСВ и связь между ними. В теме НСВ аналогичным образом отраженны вышеуказанные понятия, определены функции распределения СВ и плотности распределения НСВ, указана связь между ними, а также представлены основные виды распределения СВ: равномерное и нормальное распределения.

обобщающем уроке по данной теме.

Данная разработка применима:

• при изучении раздела Случайные величины с демонстрацией отдельных слайдов для эффективного усвоения нового материала путем зрительного восприятия,
• при актуализации опорных знаний учащихся
• при подготовке учащихся к итоговой аттестации по дисциплине.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Содержание Случайные величины Дискретная случайная величина (ДСВ) Закон распределения СВ Числовые характеристики ДСВ Теоретические моменты ДСВ Система двух ДСВ Числовые характеристики системы двух ДСВ Непрерывная СВ Функция распределения НСВ Функция плотности распределения НСВ Числовые характеристики НСВ Кривая распределения СВХ Мода Медиана Равномерное распределение плотности Нормальный закон распределения. Функция Лапласа

Случайные величины Случайной величиной (СВ) называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее до опыта неизвестно, какое именно. Делятся на два типа: дискретные СВ (ДСВ) и непрерывные СВ (НСВ)

Дискретная случайная величина (ДСВ) ДСВ – такая величина,число возможных испытаний которой либо конечно, либо бесконечное множество, но обязательно счетное. Например, частота попаданий при 3 выстрелах – X x 1 =0, x 2 =1, x 3 =2, x 4 =3 ДСВ будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если будет указано, какую вероятность имеет каждое из событий.

Законом распределения СВ называется соотношение, устанавливающее связь между возможным значением СВ и соответствующими вероятностями. Формы задания закона распределения: Таблица Закон распределения СВ X x 1 x 2 … x n P i p 1 p 2 … p n

2. Многоугольник распределения Закон распределения ДСВ P i X i x 1 x 2 x 3 x 4 p 1 p 2 p 3 p 4 Многоугольник распределения Сумма ординат многоугольника распределения, представляющая собой сумму вероятностей всех возможных значений СВ всегда равна 1

Числовые хар-ки ДСВ Математическое ожидание – сумма произведений значений СВ на их вероятности. Математическое ожидание является хар-кой среднего значения случайной величины

Числовые хар-ки ДСВ Свойства математического ожидания:

Числовые хар-ки ДСВ 2. Дисперсией ДСВХ называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания. Дисперсия характеризует меру рассеяния значений СВ от математического ожидания При решении задач дисперсию удобно вычислять по формуле: - Среднеквадратичное отклонение

Числовые хар-ки ДСВ Свойства дисперсии:

Теоретические моменты ДСВ Начальным моментом порядка k СВХ называют математическое отношение Х k Центральным моментом порядка k СВХ называют математическое ожидание величины

Система двух ДСВ Систему двух СВ (Х Y) можно изображать случайной точкой на плоскости. Событие, состоящее в попадании случайной точки (Х Y) в область D обозначают (X,Y) ∩D Закон распределения системы двух ДСВ можно задать таблицей

Система двух ДСВ Таблица, задающая закон распределения системы двух ДСВ Y X y 1 y 2 y 3 … y n x 1 p 11 p 12 p 13 … p 1n x 2 p 21 p 22 p 23 … p 2n x 3 p 31 p 32 p 33 … p 3n … … … … … … x m p m1 p m2 p m3 … p mn

Числовые хар-ки системы двух ДСВ Математическое ожидание и дисперсия системы двух ДСВ по определению При решении задач удобно применять формулу

Непрерывная СВ НСВ называется такая величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный). Число всех возможных значений НСВ бесконечно. Пример: Случайное отклонение по дальности точки падения снаряда от цели.

Функция распределения НСВ Функцией распределения называют F(x) , определяющую для каждого значения x вероятность того, что СВХ примет значение, меньшее х, т.е. согласно определению F(x)=P(X

Функция распределения НСВ Свойства функции распределения: если, то следствие: Если все возможные значения x СВХ принадлежат интервалу (a;b) , то при a=b F(x)=0 Следствие: 1. 2. 3. Функция распределения непрерывна слева

Функция плотности распределения НСВ Функцией плотности распределения вероятностей называют первую производную от функции F(x) f(x)=F`(x). f(x) называют дифференциальной функцией. Вероятность того, что НСВХ примет значения, принадлежащие интервалу (a;b) вычисляемые по формуле Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения Свойства: , в частности, если все возможные значения СВ принадлежат (a;b) , то 1. 2.

Числовые хар-ки НСВ Математическое ожидание НСВХ, все возможные значения которой принадлежат интервалу (a;b) , определяется равенством: Дисперсия НСВХ, все возможные значения которой принадлежат интервалу (a;b) , определяется равенством: При решении задач применима формула:

Числовые хар-ки НСВ Среднеквадратичное отклонение определяется так же, как и для ДСВ: Начальный момент k -ого порядка НСВ определяется равенством:

Числовые хар-ки НСВ Центральный момент k- ого порядка НСВХ, все возможные значения которой принадлежат интервалу (a:b) , определяется равенством:

Числовые хар-ки НСВ Если все возможные значения НСВХ принадлежат всей числовой оси ОХ, то во всех вышеуказанных формулах определенный интеграл заменяется несобственным интегралом с бесконечными нижним и верхним пределами

Кривая распределения СВХ Y X М 0 a b График функции f(x) называется кривой распределения кривая распределения Геометрически вероятность попадания СВХ в промежуток (a;b) равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения осью ОХ и прямыми x=a и x=b

Мода Модой ДСВХ называется ее наиболее вероятное значение. Модой НСВХ называется такое ее значение M 0 , при котором плотность распределения максимальная. Для нахождения моды НСВ необходимо найти максимум функции с помощью первой или второй производной. M 0 =2 , т.к. 0.1 0.3 Геометрически мода является абсциссой той точки кривой или полигона распределения, ордината которой максимальна X 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3 Y X М 0 a b

Медиана Медианой НСВХ называется такое ее значение М е, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина больше или меньше М е, т.е. P(x М е)=0.5 Ордината, проведенная к точке с абсциссой, равной М е, делит пополам площадь, ограниченную кривой или полигоном распределения. Если прямая x=a является осью симметрии кривой распределения y=f(x) , то М 0 =М е = М(Х)= a

Равномерное распределение плотности Равномерным называется распределение таких СВ, все значения которых лежат на некотором отрезке (a;b) и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке Y X a b h Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение равномерно распределенной СВ:

Нормальный закон распределения. Функция Лапласа Нормальный закон распределения характеризуется плотностью Кривая распределения симметрична относительно прямой x=a . Максимальная ордината при x=a равна Y X x=a Кривая Гаусса, нормальная кривая Ось абсцисс является асимптотой кривой y=f(x) Ф (x) - Функция Лапласа

Слайд 1

Описание слайда:

Слайд 2

Описание слайда:

Слайд 3

Описание слайда:

Слайд 4

Описание слайда:

Слайд 5

Описание слайда:

Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие A. Пусть вероятность наступления события A при каждом испытании равна p. Рассмотрим случайную величину - число наступлений события A при n независимых испытаниях. Область изменения состоит из всех целых чисел от 0 до n включительно. Закон распределения вероятностей р(m) определяется формулой Бернулли (13"): Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие A. Пусть вероятность наступления события A при каждом испытании равна p. Рассмотрим случайную величину - число наступлений события A при n независимых испытаниях. Область изменения состоит из всех целых чисел от 0 до n включительно. Закон распределения вероятностей р(m) определяется формулой Бернулли (13"):

Слайд 6

Описание слайда:

Слайд 7

Описание слайда:

Слайд 8

Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3. Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3.